Эффективная процентная ставка вкладов

В самом начале появления коммерческих банков в России в описании вкладов, как правило, указывали только номинальную ставку и дополнительные условия, влияющие на конкретные выплаты: наличие или отсутствие капитализации процентов, частоту их перечисления на счёт или причисления к сумме вклада, различные подарки и надбавки при выполнении определённых условий по сумме вклада или пополнений. Со временем, когда государство решило взять под контроль ставки по вкладам после очередного банковского кризиса, условия в разных банках стали выравниваться и конкурировать за клиента становилось сложнее. В это время я заметил, что многие банки (и рекламирующие их продукты сайты) начали использовать понятие «эффективной ставки», которая, естественно, была выше номинальной и выделяла их вклад на фоне других. Но вот к экономическому смыслу этой величины и способу её расчёта было много вопросов. Что же такое на самом деле эффективная процентная ставка, и какое значение она имеет для вкладчика? Давайте разбираться.

Банкозавр идёт вычислять эффективную процентную ставку

Проблемы выбора

Чаще всего, размещая средства в банке, вкладчик хочет максимизировать свой финансовый результат от такого вложения. Бывают и другие цели, когда важно, например, накопить определённую сумму к какой-либо дате, или сформировать финансовую подушку на случай непредвиденной ситуации, к средствам которой можно прибегнуть в любой момент. В этих ситуациях максимум выгоды тоже имеет значение, но другие факторы, такие как срок или возможность снятие без потери процентов, могут оказаться более важными.

Вне зависимости от цели инвестирования вы всегда можете определить множество потенциально подходящих вкладов. Причём для «вкладчика-инвестора» таких вкладов будет очень много, а условия по ним различаться кардинально: вот банк А — предлагает накопительный счёт под 16%, а вот банк Б — предлагает открыть вклад на полгода под 17% с выплатой в конце срока, а ещё есть банк В с непополняемым вкладом на год, где за первую половину срока выплатят 22%, а за вторую 13%. При неограниченном горизонте инвестирования выбрать оптимальное из таких предложений сложно.

Как сравнить тёплое с мягким

Если мы обратимся к любой популярной статье об эффективной ставке (их настолько много, что даже нет смысла давать ссылки на какие-то конкретные из них, достаточно набрать в поисковике «эффективная процентная ставка» и открыть несколько вариантов), то обнаружим, что во всех из них речь идёт о формуле сложных процентов, по которой авторы рассчитывают финансовый результат вклада с капитализацией процентов. Хорошо ещё если формула написано верно, но вот дальше начинаются рассуждения, не имеющие отношения к реальности и вводящие потребителя в заблуждение.

Вот, например, статья в Тинькофф Журнале о том, как рассчитать проценты по вкладу. В разделе «Годовые проценты» есть верный посыл:

Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать вклады с разными условиями: например, по одному вкладу проценты начисляются раз в месяц и капитализируются, а по другому выплачиваются в конце срока. Эффективная ставка позволяет привести эти два вклада к общему знаменателю и понять, какой из них выгоднее.

Но после сразу же идёт без объяснения формула эффективной ставки, причём работающая (ниже мы увидим, что на самом деле она не работает) только для вкладов с капитализацией процентов через равные промежутки времени и с постоянной ставкой за весь срок вклада:

$$ЭС = \left( \left(1 + \frac{С}{100 \times П} \right)^{П \times Д} -1 \right) \times \frac{100}{Д}$$

Здесь $С$ — номинальная ставка в процентах, $П$ — периодичность выплат процентов в год, а $Д$ — срок вклада в годах.

В похожей статье на сравни.ру приведена точно такая же формула, а вот расчёты по ней произведены фактически неверно: для трёхгодичного вклада под 10% у авторов статьи получилась эффективная ставка 17.88%, хотя если все указанные параметры подставить в формулы выше, получится 11.61%.

Но даже при правильном расчёте ни в одной такой статье не объясняется, а как собственно сравнивать вклады с разными условиями, чтобы понять, какой из них выгоднее и что вообще означает это загадочное понятие «эффективная процентная ставка» и в чём её «эффективность». Ведь если мы начнём вычислять по этой формуле эффективную ставку для вкладов с разными сроками, то получим весьма любопытные и обманывающие результаты.

Например, для вклада на 10 лет под 10% годовых с ежемесячной капитализацией посчитанная по формуле ставка будет 17.07%. Именно эту ставку банки часто указывают в своей рекламе вкладов. Означает ли это, что такой вклад выгоднее годового вклада под 13%? Здравый смысл подсказывает, что нет.

Немного теории

Википедия даёт более корректное определение эффективной процентной ставки:

Эффективная процентная ставка (ЭПС, EIR, Effective Interest Rate) — процентная ставка, получаемая в результате капитализации процентов по финансовому инструменту за весь период инвестирования, в течение которого выплаты не производятся.

Говоря по-простому, это номинальная ставка такого вклада с выплатой процентов в конце срока, финансовый результат которого эквивалентен финансовому результату нашего вклада, причём все промежуточные выплаты (если они имеются) считаются причисленными к телу такого гипотетического вклада в момент выплаты. Или в виде формулы:

$$S = \sum_{i=1}^{n} \frac{CF_{t_i}}{(1+r)^{t_i}}$$

где $S$ — стоимость финансового инструмента, $r$ — эффективная процентная ставка, а $CF_{t_i}$ — платёж в момент времени $t_i$ (время отсчитывается от текущего момента в единицах измерения $r$).

Для большей наглядности представим, что у нас есть вклад на год с одной выплатой через $1/3$ срока вклада, за которую банк выплачивает нам 10% от суммы вклада, а в конце мы получаем дополнительно ещё 50% от первоначальной суммы вклада.

В момент первой выплаты мы получаем на руки $0.1S$ денег, которые никак не используются. Если они просто пролежат нетронутыми до конца срока вклада, на выходе мы получим сумму $1.6S$. Это неэффективно, мы могли бы положить эти деньги на какой-то другой вклад и получить от них дополнительную выгоду.

Но какая справедливая ставка должна быть установлена по такому вкладу? Модель эффективной процентной ставки подразумевает, что эта ставка такова, что нам становится совершенно безразлично, на какой вклад размещать наши деньги: положить всё на исходный вклад и выводить на вклад с эффективной ставкой только выплачиваемые проценты, разместить часть средств на исходном вкладе, а часть на вкладе с эффективной ставкой или же полностью вложить все деньги в депозит с эффективной процентной ставкой — все эти стратегии приведут к одинаковому финансовому результату.

Обозначим за $r$ номинальную процентную ставку такого вклада, но прежде чем добавить его на нашу диаграмму, обратим внимание на то, что этот вклад должен быть пополняемым (мы ведь собираемся положить на него деньги, полученные в первую выплату по исходному вкладу). Номинальная процентная ставка $r$ означает, что привлечённые на него в самом начале срока дадут финансовый результат $(1+r)S$. Но по какой ставке было бы справедливо принимать пополнения по такому вкладу в определённый момент в течение его срока действия?

Мы вновь можем воспользоваться тем же приёмом, что уже применили для поиска ставки равноценного по финансовому результату вклада. Если мы можем пополнить такой вклад в момент времени $1/3$, то давайте считать, что в этот момент времени вклад можно забрать вместе с процентами и переоткрыть на новый срок. Обозначим за $x$ процентную ставку за такой период вклада. Чтобы такой вклад был эквивалентен искомому вкладу со ставкой $r$, их финансовые результаты должны быть равны.

За первую треть срока вклада мы получим на руки сумму вклада и проценты $(1+x)S$, реинвестировав его на вторую треть срока, мы получим тот же процент с уже большей суммы $(1+x)^2 S$, в конце последнего периода на руках у нас останется сумма $(1+x)^3 S$. Осталось приравнять этот результат к результату инвестирования исходной суммы $S$ на первоначальный вклад со ставкой $r$, чтобы найти $x$:

$$\begin{aligned} (1+x)^3 S &= (1 + r) S \\ 1+x &= (1+r)^{1/3} \\ x &= (1+r)^{1/3} - 1 \end{aligned}$$

Таким образом, ставка на наше пополнение в момент времени $1/3$ составит

$$(1+x)^2-1 = (1+r)^{1-1/3}-1$$

к сведению

Этот вывод можно обобщить для любого момента пополнения вклада: справедливая ставка пополнения для момента $t: 0 \leq t \leq 1$ будет равна $(1+r)^{1-t}-1$. Заметим, что она никогда не превышает $r$ (так как функция $(1+r)^{1-t}-1$ убывает для всех неотрицательных $r$, а при $t=0$ её значение равно $r$).

В реальной жизни банки не устанавливают такие ставки для пополнения вкладов, а, как правило, предлагают пополнять вклад под постоянную ставку в течение всего срока его действия. Теоретически это позволяет увеличить финансовый результат за счёт пополнения вклада ближе к сроку выплаты процентов. Например, если у вас есть 31 вклад с ежемесячной выплатой процентов, открытый с разницей в один день, то вы можете увеличить финансовый результат за счёт внесения средств из выплаченных процентов на вклад, проценты по которому будут выплачены на следующий день и т.д., таким образом, превращая всю эту конструкцию в аналог вклада с ежедневной капитализацией процентов. На практике же разница в доходности вряд ли будет стоить потраченных усилий.

Теперь, когда мы знаем все условия по вкладу с эффективной процентной ставкой, можно добавить его на диаграмму с исходным вкладом, чтобы составить финальное уравнение.

Посчитаем финансовый результат $R$ при вложении выплаченных в первую треть срока вклада процентов во вклад с эффективной процентной ставкой.

$$\begin{aligned} R &= 0.1 \left (1 + (1+r)^{1-1/3} - 1 \right) S + 1.5S \\ R &= 0.1 (1+r)^{2/3} S + 1.5S \end{aligned}$$

Согласно определению эффективной процентной ставки этот результат не должен отличаться от результата размещения на нём всей исходной суммы.

$$(1+r)S = 0.1 (1+r)^{2/3} S + 1.5S$$

Разделим обе части уравнения на $1+r$:

$$\begin{aligned} S = \frac{0.1S}{(1+r)^{1/3}} + \frac{1.5S}{1+r} = \sum_{i=1}^{2} \frac{CF_{t_i}}{(1+r)^{t_i}} \end{aligned}$$

Таким образом, мы получили формулу, приведённую в начале этого раздела: первый платёж в момент времени $t_1=1/3$ равен $CF_1 = 0.1S$ — это наши начисленные за треть срока вклада 10%, а второй платёж в момент времен $t_2=1$ равен $CF_2 = 1.5S$ — это наши 50% за две оставшиеся трети срока вклада и вернувшаяся к нам назад первоначальная сумма вклада.

Считаем эффективную процентную ставку

Прежде чем перейти к типичным условиям по вкладам для вычисления их эффективных процентных ставок, давайте попробуем посчитать эффективную ставку вклада из предыдущего раздела.

Согласно формуле эффективной процентной ставки имеем:

$$S = \frac{0.1S}{(1+r)^{1/3}} + \frac{1.5S}{1+r}$$

Сделаем замену $\alpha = (1+r)^{1/3}$ и проведём ряд простых преобразований:

$$\begin{aligned} S &= \frac{0.1S}{\alpha} + \frac{1.5S}{\alpha^3} \\ 1 & = \frac{0.1}{\alpha} + \frac{1.5}{\alpha^3} \\ \alpha^3 & = 0.1\alpha^2 + 1.5 \\ 0 &= \alpha^3 - 0.1\alpha^2 - 1.5 \end{aligned}$$

Получившийся многочлен имеет один действительный корень $\alpha \approx 1.179$, а $r \approx 0.617$.

При вычислении эффективной процентной ставки нам практически всегда придётся искать корни многочлена произвольной степени, поэтому точное её определение даже для конкретного случая нетривиально. Однако для некоторых типовых условий вкладов эффективную процентную ставку можно вычислить по довольно простым формулам.

В статье с Википедии, где мы нашли определение эффективной процентной ставки, приведена одна очень важная теорема:

Пусть по инструменту выполнены одновременно следующие условия:

1. платежи по финансовому инструменту представляют собой исключительно платежи в счет погашения основного долга и проценты на его оставшуюся часть;
2. платежи осуществляются через фиксированный промежуток времени (далее — базовый период);
3. номинальная процентная ставка по договору является неизменной на протяжении срока договора (обозначим её $q$ — для ставки за базовый период) и она используется для расчета процентной составляющей платежей: проценты за данный базовый период равны произведению $q$ на остаток основного долга на начало базового периода;
4. в течение срока договора первоначальная сумма долга полностью погашается (конкретный график погашения долга не имеет значения, долг целиком может погашаться и в самом конце срока и в течение срока).

Можно показать, что при выполнении этих условий эффективная процентная ставка за базовый период равна номинальной процентной ставке за этот же период: $r = q$.

Фактически под определение такого финансового инструмента попадает почти любой банковский вклад. А значит, для определения его эффективной процентной ставки нам осталось только разобраться с приведением её к одному периоду времени (в формуле из предыдущего раздела ставка рассчитывается для всего периода инвестирования, а время выражено в единицах измерения $r$).

Для определения эффективной процентной ставки за период $T$, который состоит из $m$ базовых периодов, нам нужно привести единицы измерения $t$ в исходной формуле к новой системе отсчёта. Чаще всего в качестве периода эффективной процентной ставки используется календарный год. В принципе это значение может быть любым, главное чтобы оно было одинаковым при сравнении эффективных процентных ставок разных инструментов.

Например, если эффективная процентная ставка посчитана за базовый период месяц для двухлетнего вклада, то $t_1 = 1,…, t_n = 24$. Чтобы посчитать эффективную процентную ставку $\=r$ за период год, надо вместо $t_i$ использовать $t_i/12$:

$$\begin{aligned} S &= \sum_{i=1}^{n} \frac{CF_{t_i}}{(1+r)^{t_i}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{CF_{t_i}}{(1+\=r)^{t_i/m}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{CF_{t_i}}{((1+\=r)^{1/m})^{t_i}} \end{aligned}$$

откуда $1+r = (1+\=r)^{1/m}$, т.е. $\=r=(1+r)^m - 1$.

Заметим, что ставка $q$ определена за базовый период. Обозначив за $Q$ ставку в процентах за период $T$, равный $m$ базовым периодам, получим

$$\=r = \left( 1+\frac{Q}{m} \right)^m - 1$$

Как видим, годовая эффективная процентная ставка не зависит от срока вклада, а определяется только его номинальной процентной ставкой и периодичностью выплат.

Полученная формула полностью совпала бы с формулой с популярных сайтов, которую мы уже приводили в первом разделе этой статьи, если бы её составители не совершили классическую в финансовой математике ошибку — игнорирование временно́й стоимости денег (именно поэтому нельзя, например, просто разделить проценты за 10 лет на 10, чтобы получить годовой процент). Похожую ошибку, кстати, совершают и те, кто пытается доказать, что при аннуитетных платежах банк получает какую-то выгоду в начале срока кредита, или те, кто пытается рассчитать не имеющий экономического смысла показатель «переплаты» по кредиту.